MATEMÁTICA E BOATEMÁTICA

Aplicabilidades do Logaritmo

Note que o logaritmo nada mais é que o número que serve de expoente.

Calcular o logaritmo de um número consiste em descobrir qual é este número que servirá de expoente à base para obtermos o  número dado.

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)^t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035

t = ?

M = C * (1 + i)^t

3500 = 500 * (1 + 0,035)^t

3500/500 = 1,035^t

1,035^t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035^t = log 7

t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica)

t * 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451 / 0,0149

t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0

População após um ano = P0 * (1,03) = P1

População após dois anos = P0 * (1,03)² = P2

População após x anos = P0 * (1,03)^x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0

P0 * (1,03)^x = 2 * P0

1,03^x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03^x = log 2

x * log 1,03 = log2

x * 0,0128 = 0,3010

x = 0,3010 / 0,0128

x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Exemplo 3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se

reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:

Q = Q₀ * e^–r, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q₀ * e^–rt

200 = 1000 * e^–0,02t

200/1000 = e^–0,02t

1/5 = e^–0,02t (aplicando definição)

–0,02t = log_e1/5

–0,02t = log_e5^–1

–0,02t = –log_e5

–0,02t = –ln5 x(–1)

0,02t = ln5

t = ln5 / 0,02

t = 1,6094 / 0,02

t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Exemplo 4 - Cultura de Bacilos

O número de bacilos existentes numa determinada cultura, no instante t, é dado por N = N₀ . 2 ^(t/k)

em que N₀ e k são constantes. As variáveis t e N estão expressas em horas e milhões de unidades, respectivamente.

a) Interpreta o significado das constantes  N₀ e  k.

b) Qual a função que exprime, o número de horas que esta função leva a passar de N₀ para N, em função de N?

Resolução:                         

a) No instante  t = 0 vem  N = N₀.2⁰  logo  N = N₀.

    Portanto, N₀ é o número de bacilos existentes no início da contagem do tempo.

    Fazendo  t = k  vem  N = N₀.2 .  Isto significa que k é o número de horas que decorrem até duplicar o número de bacilos.

b) N / N₀ = 2^(t/k)  <=>  t / k = log₂ (N / N₀)  <=>  t = k log₂ (N / N₀)

    Vemos que a expressão de t, em função de N, envolve um logaritmo da variável independente, logo é uma função logarítmica.

Exemplo 5 - Sismos

Segundo Richter (Sismologia Elementar, 1958) a magnitude M dum tremor de terra, que ocorra a 100 km de certo sismógrafo, é dada por M = log₁₀ A +3

onde A é a amplitude máxima em mm, do registro feito pelo aparelho.

a) Qual é o significado da constante 3?

b) Certo tremor de terra de magnitude  M₁  produz um registro de amplitude A₁. Exprime, em função de M₁, a magnitude M doutro sismo cujo registro tem de amplitude 100A₁, nas mesmas condições.

Resolução:                             

a) Para  A = 1, vem  M = 3.  Isto significa que o tremor de terra tem magnitude 3, se provoca um registro de amplitude máxima 1 mm, nas condições indicadas.

b) Para uma amplitude   100A₁  vem:

M = log₁₀ (100A₁) + 3 = log₁₀ 100 + log₁₀ A₁ +3

= 2 + (log₁₀ A₁ +3).

Portanto M = 2 + M₁.

Assim temos uma função logarítmica

Do blog Matematiquês